文章结尾有惊喜

在 C++ 中，unsigned long long最大只能表示到2^64-1=18446744073709551615264−1=18446744073709551615

而有些题目需要用到更大的数，位数可能高达几十万，这时就需要用到我们今天所要讲解的高精度算法。

我们可以通过数组来模拟实现大数的运算。

1.1 读入大整数的方法

我们用一个数组来保存整个高精度整数，并记录高精度整数的长度len。

因为我们在模拟一个计算竖式的过程，需要从右往左读入以解决进位的问题。

string num;
cin >> num;
int a[105], len = num.size();
for (int i = 0; i < len; i++) {
    a[i] = num[len - 1 - i] - '0';// 注意这里要减去'0'，因为我们要把字符'0'变为整数"0"
}

1.2 输出大整数的方法

输出一个高精度的数就非常容易了，直接把数组中的元素倒序输出就可以了。

for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
    cout << a[i];
}

1.3 高精度加高精度代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string num1, num2;
int a1[105], a2[105], len1, len2;
int main() {
    cin >> num1 >> num2;
    len1 = num1.size();
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i] = num1[len1 - 1 - i] - '0';
    }
    len2 = num2.size();
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        a2[i] = num2[len2 - 1 - i] - '0';
    }
    len1 = max(len1, len2);
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i] += a2[i];
    }
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i + 1] += a1[i] / 10;
        a1[i] %= 10;
    }
    while (a1[len1]) {
        a1[len1 + 1] += a1[len1] / 10;
        a1[len1] %= 10;
        len1++;
    }
    for (int i = len1 - 1; i >= 0; i--) {
        cout << a1[i];
    }
    return 0;
}

1.4 高精度减高精度代码实现

#include <bits/stedc++.h>
using namespace std;
string num1, num2;
int a1[105], a2[105], len1, len2;
bool sgn;
bool cmp(string a, string b) {
    if (a.size() != b.size()) {
        return a.size() < b.size();
    }
    return a < b;
}
int main() {
    cin >> num1 >> num2;
    if (cmp(num1, num2)) {
        sgn = true;
        swap(num1, num2);
    }
    len1 = num1.size();
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i] = num1[len1 - 1 - i] - '0';
    }
    len2 = num2.size();
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        a2[i] = num2[len2 - 1 - i] - '0';
    }
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i] -= a2[i];
    }
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        while (a1[i] < 0) {
            a1[i + 1]--;
            a1[i] += 10;
        }
    }
    while (len1 > 1 && a1[len1 - 1] == 0) {
        len1--;
    }
    if (sgn) {
        cout << "-";
    }
    for (int i = len1 - 1; i >= 0; i--) {
        cout << a1[i];
    }
    return 0;
}

1.5 高精度乘高精度代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string num1, num2;
int a1[105], a2[105], len1, len2, a[205], len;
int main() {
    cin >> num1 >> num2;
    len1 = num1.size();
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a1[i] = num1[len1 - 1 - i] - '0';
    }
    len2 = num2.size();
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        a2[i] = num2[len2 - 1 - i] - '0';
    }
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        for (int j = 0; j < len2; j++) {
            a[i + j] += a1[i] * a2[j];
        }
    }
    len = len1 + len2 - 1;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        a[i + 1] += a[i] / 10;
        a[i] %= 10;
    }
    while (a[len]) {
        a[len + 1] += a[len] / 10;
        a[len] %= 10;
        len++;
    }
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
        cout << a[i];
    }
    return 0;
}

1.6高精度除以高精度代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[101],b[101],c[101],i;
//输入函数
void init(int a[]){
    string s;
    cin>>s;
    a[0]=s.length();
    for(i=1;i<=a[0];i++)
        a[i]=s[a[0]-i]-'0';//减法倒序存储
}
//输出函数
void print(int a[]){
    int i;
    if(a[0]==0){
        cout<<0<<endl;
        return;
    }
    for(i=a[0];i>0;i--)
        cout<<a[i];
    cout<<endl;
    return;  //函数执行完毕回到主程序
}
//比较函数
int compare(int a[],int b[]){
    int i;
     if(a[0]>b[0])
         return 1;
     if(a[0]<b[0])
         return-1;
     for(i=a[0];i>0;i--){ //如果两数位数相等，则按位比大小
         if(a[i]>b[i])
             return 1;
          if(a[i]<b[i])
              return -1;  //按位比较若该位数相同，则判断下一位
     }
    return 0;//如果返回0则表示两数相等
}
//减法模拟除法
void jian(int a[],int b[]){
    int flag,i;
    flag=compare(a,b);
    if(flag==0){
        a[0]=0;
        return;
    }
    if(flag==1){
        for(i=1;i<=a[0];i++){
            if(a[i]<b[i]){
                a[i+1]--;
                a[i]=a[i]+10;
            }
            a[i]-=b[i];
        }
        while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)
            a[0]--;
        return;
    }
}
//复制数组
void numcpy(int p[],int q[],int det){
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
        q[i+det-1]=p[i];
    q[0]=p[0]+det-1;
    /*
    for(int i=q[0];i>0;i--)
        cout<<q[i];
    cout<<endl;
    打印复制后的数字，方便理解算法，此算法主要采用低位补0做减法
    */
}
//除法计算
void chugao(int a[],int b[],int c[]){
    int i,tmp[101];
    c[0]=a[0]-b[0]+1;   //商的位数不超过被除数的位数－除数的位数+1
    for(i=c[0];i>0;i--){  //每次循环确定某位商的的值，从高位开始
        memset(tmp,0,sizeof(tmp));
        numcpy(b,tmp,i);
        while(compare(a,tmp)>=0){
            c[i]++;
            jian(a,tmp);
        }
    }
    while(c[0]>0&&c[c[0]]==0)
        c[0]--;
    return;
}
//主函数
int main(){
    init(a);
    init(b);
    chugao(a,b,c);
    print(c);
    print(a);
    return 0;
}

114514 <- 这是什么？